与えられた定積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ を計算します。ここで、$a>0$とします。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ を計算します。ここで、$a>0$とします。

2. 解き方の手順

この積分はガウス積分として知られています。

まず、次の積分を考えます。

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$

この積分の二乗を考えます。

$I^2 = \left(\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx\right)\left(\int_{0}^{\infty} e^{-ay^2} dy\right) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-a(x^2+y^2)} dx dy$

ここで、極座標に変換します。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$とすると、$x^2+y^2 = r^2$となり、$dx dy = r dr d\theta$となります。積分範囲は$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$、 $0 \le r < \infty$となります。

$I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-ar^2} r dr d\theta$

$r$に関する積分を計算します。$u = ar^2$と置換すると、$du = 2ar dr$となり、$r dr = \frac{du}{2a}$となります。

$\int_{0}^{\infty} e^{-ar^2} r dr = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{du}{2a} = \frac{1}{2a} \left[-e^{-u}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2a} (0 - (-1)) = \frac{1}{2a}$

したがって、

$I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2a} d\theta = \frac{1}{2a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{1}{2a} \left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2a} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4a}$

よって、$I = \sqrt{\frac{\pi}{4a}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$となります。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$