与えられた画像には、微分と関数の組み合わせ、三角関数に関する問題が含まれています。具体的には、微分可能な関数の和と定数倍に関する性質、関数 $f(x) = (x+3)^2$ の微分、関数の積の微分公式の検証、逆三角関数や合成関数の値の計算、扇形の弧の長さに関する説明、正弦関数、正接関数、逆正接関数の微分の導出などが問われています。

1. 問題の内容

与えられた画像には、微分と関数の組み合わせ、三角関数に関する問題が含まれています。具体的には、微分可能な関数の和と定数倍に関する性質、関数 $f(x) = (x+3)^2$ の微分、関数の積の微分公式の検証、逆三角関数や合成関数の値の計算、扇形の弧の長さに関する説明、正弦関数、正接関数、逆正接関数の微分の導出などが問われています。

2. 解き方の手順

問2について，以下の手順で問題を解きます。

(1) $arccos(\sqrt{3})$

$arccos(x)$は、コサインの値が$x$になる角度を返す関数です。コサインの値域は$-1$から$1$の間なので、$\sqrt{3}$は$1$より大きく、$arccos(\sqrt{3})$は定義されません。

(2) $arctan(tan(\sqrt{3}))$

$arctan(tan(x))$は、$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$の範囲では、$x$に等しくなります。しかし、$\sqrt{3}$は約1.73であり、$\frac{\pi}{2}$は約1.57なので、この範囲を超えています。$\sqrt{3}$から最も近い$-\frac{\pi}{2}$から$\frac{\pi}{2}$の範囲に入る角度を求めます。$arctan(tan(\sqrt{3})) = \sqrt{3} - \pi$となります。

(3) $arccos(2sin5cos5)$

$2sin5cos5 = sin(2*5) = sin(10)$です。$10$ラジアンは約$10 * 180 / \pi \approx 573$度なので、$sin(10)$を計算し、$arccos(sin(10))$を求めます。

$10 = 3\pi + (10-3\pi)$であり、$10-3\pi \approx 10 - 3(3.14) = 10 - 9.42 = 0.58$なので、

$sin(10) = sin(3\pi + 0.58) = -sin(0.58)$となります。

$arccos(sin(10)) = arccos(-sin(0.58))$

(4) $cos(arcsin(\frac{\pi}{6}))$

$arcsin(\frac{\pi}{6})$は、サインの値が$\frac{\pi}{6}$になる角度です。$\frac{\pi}{6}$は約0.52であり、$-1$から$1$の範囲内なので、$arcsin(\frac{\pi}{6})$は定義されます。$cos(arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}$なので、$cos(arcsin(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{1 - (\frac{\pi}{6})^2}$となります。

(5) $cos(arcsin(x) + arctan(t))$ ($-1 \le x \le 1$)

加法定理より、$cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)$なので、$cos(arcsin(x) + arctan(t)) = cos(arcsin(x))cos(arctan(t)) - sin(arcsin(x))sin(arctan(t))$となります。

$cos(arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}$、$sin(arcsin(x)) = x$、$cos(arctan(t)) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$、$sin(arctan(t)) = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$なので、

$cos(arcsin(x) + arctan(t)) = \sqrt{1-x^2} \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} - x \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\sqrt{1-x^2} - xt}{\sqrt{1+t^2}}$となります。

3. 最終的な答え

(1) 定義されない

(2) $\sqrt{3} - \pi$

(3) $arccos(-sin(0.58))$

(4) $\sqrt{1 - (\frac{\pi}{6})^2}$

(5) $\frac{\sqrt{1-x^2} - xt}{\sqrt{1+t^2}}$