$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\log_{\frac{1}{3}} x$ を別の形に変形して、極限を考えやすくします。底の変換公式を使って底を $3$ に変換します。底の変換公式は、

$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

です。ここで $a = \frac{1}{3}$, $x=x$, $b=3$ とすると、

$\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \frac{1}{3}}$

となります。ここで、$\log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$ なので、

$\log_{\frac{1}{3}} x = -\log_3 x$

となります。したがって、

$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x = \lim_{x \to +0} (-\log_3 x)$

となります。$x$ が正の方向から $0$ に近づくとき、$\log_3 x$ は $-\infty$ に近づきます。したがって、$-\log_3 x$ は $+\infty$ に近づきます。

3. 最終的な答え

$\infty$