与えられた関数 $y$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

了解しました。与えられた画像の問題を解きます。どの問題について回答しますか？指定がないので、今回は(12)から(20)までのすべての問題について、微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

(12) $y = \frac{x^2}{x-1}$

商の微分公式 $\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ を用います。

$u = x^2$, $v = x-1$ とすると, $\frac{du}{dx} = 2x$, $\frac{dv}{dx} = 1$ です。

よって,

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(2x) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$

(13) $y = -\frac{4}{x^2} = -4x^{-2}$

$\frac{dy}{dx} = -4(-2)x^{-3} = 8x^{-3} = \frac{8}{x^3}$

(14) $y = \frac{1}{3x^3} = \frac{1}{3} x^{-3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} (-3) x^{-4} = -x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$

(15) $y = 2\cos x + 3\sin x + 4$

$\frac{dy}{dx} = -2\sin x + 3\cos x$

(16) $y = 3e^x + 5\log x$ ($x > 0$)

$\frac{dy}{dx} = 3e^x + \frac{5}{x}$

(17) $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos x + \sin x (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

(18) $y = x \log x$ ($x > 0$)

積の微分公式 $\frac{d}{dx} (uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ を用います。

$u = x$, $v = \log x$ とすると, $\frac{du}{dx} = 1$, $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ です。

$\frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$

(19) $y = x^2 e^x$

$\frac{dy}{dx} = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x)e^x = x(x+2)e^x$

(20) $y = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

3. 最終的な答え

(12) $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$

(13) $\frac{dy}{dx} = \frac{8}{x^3}$

(14) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^4}$

(15) $\frac{dy}{dx} = -2\sin x + 3\cos x$

(16) $\frac{dy}{dx} = 3e^x + \frac{5}{x}$

(17) $\frac{dy}{dx} = \cos(2x)$

(18) $\frac{dy}{dx} = 1 + \log x$

(19) $\frac{dy}{dx} = x(x+2)e^x$

(20) $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$