与えられた関数を微分する問題です。様々な関数（多項式、分数関数、三角関数、指数関数、対数関数など）の微分を求める必要があります。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。ここでは、すべての問題を解く代わりに、いくつかの例を選んで解説します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。様々な関数（多項式、分数関数、三角関数、指数関数、対数関数など）の微分を求める必要があります。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で微分を行います。

* **多項式の微分:** 各項に対して、べき乗の公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を適用します。

* **分数関数の微分:** 商の公式 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を適用します。

* **合成関数の微分:** 連鎖律 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ を適用します。

* **三角関数の微分:** $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$、$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ を用います。

* **指数関数の微分:** $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ を用います。

* **対数関数の微分:** $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ を用います。

例として、以下の問題を選んで解説します。

(1) $y = 2x + 4$

(4) $y = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 5$

(11) $y = \frac{2x-1}{x^2+1}$

(15) $y = 2\cos x + 3\sin x + 4$

(19) $y = x^2 \cdot e^x$

* **(1) $y = 2x + 4$**

$y' = \frac{d}{dx}(2x+4) = 2 \cdot 1 + 0 = 2$

* **(4) $y = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 5$**

$y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 4x^2 - 3x + 5) = 2 \cdot 3x^2 + 4 \cdot 2x - 3 + 0 = 6x^2 + 8x - 3$

* **(11) $y = \frac{2x-1}{x^2+1}$**

$u = 2x - 1$, $v = x^2 + 1$ とおくと、$u' = 2$, $v' = 2x$ である。商の公式より

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x^2+1) - (2x-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}$

* **(15) $y = 2\cos x + 3\sin x + 4$**

$y' = \frac{d}{dx}(2\cos x + 3\sin x + 4) = 2(-\sin x) + 3(\cos x) + 0 = -2\sin x + 3\cos x$

* **(19) $y = x^2 \cdot e^x$**

積の公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x^2$, $v = e^x$ とおくと、$u' = 2x$, $v' = e^x$ である。

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (x^2 + 2x)e^x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2$

(4) $y' = 6x^2 + 8x - 3$

(11) $y' = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}$

(15) $y' = -2\sin x + 3\cos x$

(19) $y' = (x^2 + 2x)e^x$