与えられた三角関数に関する4つの問題に答えます。 (1) 半径 $r$ で中心角 $\theta$ の扇形の弧の長さが $r\theta$ となる理由を説明する。 (2) $\sin$ の微分を微分の定義から求める。 (3) $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ の微分を微分の定義から求める。 (4) $\arctan x$ の微分を微分の定義から求める。

1. 問題の内容

与えられた三角関数に関する4つの問題に答えます。

(1) 半径 $r$ で中心角 $\theta$ の扇形の弧の長さが $r\theta$ となる理由を説明する。

(2) $\sin$ の微分を微分の定義から求める。

(3) $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ の微分を微分の定義から求める。

(4) $\arctan x$ の微分を微分の定義から求める。

2. 解き方の手順

(1) 円周の長さは $2\pi r$ であり、中心角は $2\pi$ です。扇形の弧の長さは中心角に比例するため、中心角 $\theta$ の扇形の弧の長さは、

$\frac{\theta}{2\pi} \times 2\pi r = r\theta$

となります。

(2) 微分の定義より、

$\frac{d}{dx} \sin x = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$

加法定理より、$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$なので、

$\frac{d}{dx} \sin x = \lim_{h\to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \sin x \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin h}{h} = \sin x \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h}$

$\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であることは既知とします。

$\lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h\to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h\to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{-\sin h}{\cos h + 1} = 1 \cdot \frac{0}{2} = 0$

したがって、

$\frac{d}{dx} \sin x = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

(3) 微分の定義より、

$\frac{d}{dx} \tan x = \lim_{h\to 0} \frac{\tan(x+h) - \tan x}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)} - \frac{\sin x}{\cos x}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)\cos x - \sin x \cos(x+h)}{h \cos(x+h) \cos x}$

分子は加法定理の逆より、$\sin(x+h)\cos x - \sin x \cos(x+h) = \sin((x+h)-x) = \sin h$ なので、

$\frac{d}{dx} \tan x = \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h \cos(x+h) \cos x} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\cos(x+h) \cos x} = 1 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

(4) $y = \arctan x$ とおくと、$x = \tan y$ となります。両辺を $x$ で微分すると、

$1 = \frac{d}{dx} \tan y = \frac{d \tan y}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$

よって、$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) 中心角 $\theta$ の扇形の弧の長さは、円周の長さに対する中心角の比に比例するため、$r\theta$ となる。

(2) $\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

(3) $\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$

(4) $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$