正の定数 $a$ が与えられているとき、関数 $f(x) = x + \frac{2a}{x}$ の極小値が2となるように、$a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられているとき、関数 $f(x) = x + \frac{2a}{x}$ の極小値が2となるように、$a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = 1 - \frac{2a}{x^2}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$1 - \frac{2a}{x^2} = 0$

$\frac{2a}{x^2} = 1$

$x^2 = 2a$

$x = \pm \sqrt{2a}$

ここで、$a$ は正の定数なので、$\sqrt{2a}$ は実数です。

$f'(x)$ の符号を調べ、$f(x)$ が極小となる $x$ の値を特定します。

$x < -\sqrt{2a}$ のとき、$x^2 > 2a$ なので、$f'(x) > 0$

$-\sqrt{2a} < x < 0$ のとき、$x^2 < 2a$ なので、$f'(x) < 0$

$0 < x < \sqrt{2a}$ のとき、$x^2 < 2a$ なので、$f'(x) < 0$

$x > \sqrt{2a}$ のとき、$x^2 > 2a$ なので、$f'(x) > 0$

したがって、$x = \sqrt{2a}$ で $f(x)$ は極小となります。

極小値は $f(\sqrt{2a})$ であり、$f(\sqrt{2a}) = 2$ となるように $a$ を定めます。

$f(\sqrt{2a}) = \sqrt{2a} + \frac{2a}{\sqrt{2a}} = \sqrt{2a} + \frac{2a\sqrt{2a}}{2a} = \sqrt{2a} + \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}$

$2\sqrt{2a} = 2$

$\sqrt{2a} = 1$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$