与えられた関数 $f(x)$ について、その導関数 $f'(x)$ の特定の値や、与えられた関数の接線を求める問題です。具体的には以下の7つの問題があります。 1. $f(x) = e^{3x+2}$ に対して、$f'(1)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、その導関数 $f'(x)$ の特定の値や、与えられた関数の接線を求める問題です。具体的には以下の7つの問題があります。

1. $f(x) = e^{3x+2}$ に対して、$f'(1)$ を求める。

2. $f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2}$ に対して、$f'(4)$ を求める。

3. $f(x) = x^2e^{-x}$ に対して、$f'(3)$ を求める。

4. $f(x) = 4\log(2x)$ に対して、$f'(1)$ を求める。

5. $f(x) = x^2\log x$ に対して、$f'(e^2)$ を求める。

6. $y = e^{3x}$ の $x=0$ における接線を求める。

7. $y = e^{3x}$ の原点 $(0,0)$ を通る接線を求める。

2. 解き方の手順

1. $f(x) = e^{3x+2}$ のとき、$f'(x) = 3e^{3x+2}$ なので、$f'(1) = 3e^{3(1)+2} = 3e^5$。よって、問1=3, 問2=5。

2. $f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2}$ のとき、$f'(x) = x e^{\frac{1}{2}x^2}$ なので、$f'(4) = 4e^{\frac{1}{2}(4^2)} = 4e^8$。よって、問3=4, 問4=8。

3. $f(x) = x^2e^{-x}$ のとき、$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = (2x-x^2)e^{-x}$ なので、$f'(3) = (2(3)-3^2)e^{-3} = (6-9)e^{-3} = -3e^{-3} = \frac{-3}{e^3}$。よって、問5=3。

4. $f(x) = 4\log(2x)$ のとき、$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{4}{x}$ なので、$f'(1) = \frac{4}{1} = 4$。よって、問6=4。

5. $f(x) = x^2\log x$ のとき、$f'(x) = 2x\log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\log x + x$ なので、$f'(e^2) = 2e^2\log(e^2) + e^2 = 2e^2(2) + e^2 = 4e^2 + e^2 = 5e^2$。よって、問7=5。

6. $y = e^{3x}$ のとき、$y' = 3e^{3x}$。$x=0$ における $y$ の値は $y = e^{3(0)} = 1$。また、$x=0$ における $y'$ の値は $y' = 3e^{3(0)} = 3$。よって、接線の方程式は $y - 1 = 3(x - 0)$ より $y = 3x + 1$。よって、問8=3, 問9=1。

7. $y = e^{3x}$ の原点 $(0,0)$ を通る接線を求める。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, e^{3t})$。接線の傾きは $3e^{3t}$。したがって、接線の方程式は $y - e^{3t} = 3e^{3t}(x - t)$。この直線が原点を通るので、$(0,0)$ を代入すると、$-e^{3t} = 3e^{3t}(-t)$。$e^{3t} \neq 0$ より、$-1 = -3t$。したがって、$t = \frac{1}{3}$。接点の $y$ 座標は $e^{3(\frac{1}{3})} = e$。接線の傾きは $3e^{3(\frac{1}{3})} = 3e$。したがって、接線の方程式は $y = 3ex$。よって、問10=3。

3. 最終的な答え

問1=3

問2=5

問3=4

問4=8

問5=3

問6=4

問7=5

問8=3

問9=1

問10=3