関数 $f(x) = x^3 - x$ は連続関数である。このとき、$f(c) = \pi$ となる $c$ が $1$ と $2$ の間にあることを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - x$ は連続関数である。このとき、$f(c) = \pi$ となる $c$ が $1$ と $2$ の間にあることを示す。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用する。中間値の定理は、「閉区間 $[a, b]$ で連続な関数 $f(x)$ が、$f(a) \neq f(b)$ を満たすとき、$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して、$f(c) = k$ となる $c$ が開区間 $(a, b)$ に存在する」というものである。

まず、$f(1)$ と $f(2)$ の値を計算する。

$f(1) = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0$

$f(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$

ここで、$\pi$ は円周率であり、約 $3.14$ である。したがって、$0 < \pi < 6$ が成り立つ。

つまり、$f(1) < \pi < f(2)$ である。

関数 $f(x) = x^3 - x$ は連続関数であるから、中間値の定理より、$f(c) = \pi$ となる $c$ が開区間 $(1, 2)$ に存在する。

3. 最終的な答え

$f(c) = \pi$ となる $c$ が $1$ と $2$ の間に存在することが示された。