与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}$ が収束するかどうかを判定します。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}$ が収束するかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

比判定法（Ratio Test）を用いて、この無限級数の収束判定を行います。比判定法では、次の極限を計算します。

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

ここで、$a_n = \frac{n^3}{3^n}$ です。したがって、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}}{\frac{n^3}{3^n}} = \frac{(n+1)^3}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{3}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 = (1 + 0)^3 = 1$

よって、

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{3n^3} = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

比判定法によれば、$L < 1$ ならば、無限級数は絶対収束します。この問題では $L = \frac{1}{3} < 1$ であるため、与えられた無限級数は収束します。

3. 最終的な答え

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}$ は収束する。