関数 $y = \frac{1}{x^2}$ の $x=2$ における微分係数と接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2}$ の $x=2$ における微分係数と接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 微分係数を求める。

関数 $y = \frac{1}{x^2}$ を微分します。$y = x^{-2}$ と書き換えてから微分すると、

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y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}

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$x=2$ における微分係数は、

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y'(2) = -\frac{2}{2^3} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}

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(2) 接線の方程式を求める。

接点の座標は $(2, \frac{1}{2^2}) = (2, \frac{1}{4})$ です。

接線の傾きは微分係数 $y'(2) = -\frac{1}{4}$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

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y - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}(x - 2)

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これを整理すると、

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y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}

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y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}

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3. 最終的な答え

微分係数： $-\frac{1}{4}$

接線の方程式： $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$