与えられた関数を微分し、その結果が正しいことを示す問題です。 (1) $(x)' = 1$ (2) $(x^2)' = 2x$ (3) $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ (4) $(c)' = 0$ (cは定数)

1. 問題の内容

与えられた関数を微分し、その結果が正しいことを示す問題です。

(1) $(x)' = 1$

(2) $(x^2)' = 2x$

(3) $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$

(4) $(c)' = 0$ (cは定数)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x$ の導関数を定義に従って求めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$

(2) $f(x) = x^2$ の導関数を定義に従って求めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

(3) $f(x) = \frac{1}{x}$ の導関数を定義に従って求めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h x(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+0)} = -\frac{1}{x^2}$

(4) $f(x) = c$ (cは定数) の導関数を定義に従って求めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(x)' = 1$

(2) $(x^2)' = 2x$

(3) $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$

(4) $(c)' = 0$ (cは定数)