問題は、与えられた関数 $y = f(x)$ について、$x=2$における微分係数と接線の方程式を求めることです。具体的には、(1) $y = 2x$ と (2) $y = \frac{1}{x^2}$ の2つの関数について計算を行います。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数 $y = f(x)$ について、$x=2$における微分係数と接線の方程式を求めることです。具体的には、(1) $y = 2x$ と (2) $y = \frac{1}{x^2}$ の2つの関数について計算を行います。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x$ の場合：

* 微分係数を求める: $y$ を $x$ で微分します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2$$

微分係数は常に2なので、$x=2$における微分係数も2です。

* 接線の方程式を求める: $x=2$ のとき、$y = 2 \times 2 = 4$ です。接線の傾きは微分係数に等しいので、傾きは2です。したがって、接線の方程式は

$$y - 4 = 2(x - 2)$$

$$y = 2x - 4 + 4$$

$$y = 2x$$

(2) $y = \frac{1}{x^2}$ の場合：

* 微分係数を求める: $y = x^{-2}$ なので、$y$ を $x$ で微分します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$

$x=2$における微分係数は、

$$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = -\frac{2}{2^3} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$$

* 接線の方程式を求める: $x=2$ のとき、$y = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$ です。接線の傾きは$-\frac{1}{4}$です。したがって、接線の方程式は

$$y - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}(x - 2)$$

$$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$$

$$y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x$ の場合：

* 微分係数: 2

* 接線の方程式: $y = 2x$

(2) $y = \frac{1}{x^2}$ の場合：

* 微分係数: $-\frac{1}{4}$

* 接線の方程式: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$