$\alpha$が第1象限の角、$\beta$が第2象限の角であり、$\cos \alpha = \frac{1}{3}$, $\cos \beta = -\frac{7}{9}$のとき、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha + \beta)$の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$が第1象限の角、$\beta$が第2象限の角であり、$\cos \alpha = \frac{1}{3}$, $\cos \beta = -\frac{7}{9}$のとき、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha + \beta)$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \alpha$と$\sin \beta$を求める。

$\alpha$は第1象限の角なので、$\sin \alpha > 0$である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\beta$は第2象限の角なので、$\sin \beta > 0$である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(-\frac{7}{9}\right)^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81}$

$\sin \beta = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha + \beta)$を求める。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \left(-\frac{7}{9}\right) + \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{4\sqrt{2}}{9}\right) = -\frac{14\sqrt{2}}{27} + \frac{4\sqrt{2}}{27} = -\frac{10\sqrt{2}}{27}$

$\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{1}{3}\right) \left(-\frac{7}{9}\right) - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \left(\frac{4\sqrt{2}}{9}\right) = -\frac{7}{27} - \frac{16}{27} = -\frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{10\sqrt{2}}{27}$

$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{23}{27}$