(1) 正の実数 $a > 0$ に対して、底が $a$ である実数上の指数関数 $f(x) = a^x$ の定義を述べる。講義で扱った定義と異なる場合は、それが講義で扱ったものと同値であることを証明する。 (2) (1)の定義の条件を満たす関数 $f(x) = a^x$ が一意であることを示すために、以下の手順で証明する。 a) 自然数 $n$ に対して $a^{nx} = \underbrace{a^x a^x \cdots a^x}_{n \text{回の積}}$ が成り立つこと。 b) 実数 $x$ に対して $a^x \neq 0$ であること。 c) 実数 $x$ に対して $a^x \geq 0$ であること。 d) 自然数 $n$ に対して $a^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{a^x}$ であること。 e) $a^0 = 1$ であること。 f) 実数 $x$ に対して $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ であること。

1. 問題の内容

(1) 正の実数 $a > 0$ に対して、底が $a$ である実数上の指数関数 $f(x) = a^x$ の定義を述べる。講義で扱った定義と異なる場合は、それが講義で扱ったものと同値であることを証明する。

(2) (1)の定義の条件を満たす関数 $f(x) = a^x$ が一意であることを示すために、以下の手順で証明する。

a) 自然数 $n$ に対して $a^{nx} = \underbrace{a^x a^x \cdots a^x}_{n \text{回の積}}$ が成り立つこと。

b) 実数 $x$ に対して $a^x \neq 0$ であること。

c) 実数 $x$ に対して $a^x \geq 0$ であること。

d) 自然数 $n$ に対して $a^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{a^x}$ であること。

e) $a^0 = 1$ であること。

f) 実数 $x$ に対して $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ であること。

2. 解き方の手順

(1) 指数関数の定義

高校数学における標準的な定義を用いる。

$a > 0$ とする。

* $n$ を自然数とするとき、$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n\text{個}}$

* $a^0 = 1$

* $n$ を自然数とするとき、$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

* $m,n$ を自然数とするとき、$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$

* $x$ を無理数とするとき、$a^x = \lim_{r \to x} a^r$ （$r$は$x$に近づく有理数）

(2) (1)の定義の条件を満たす関数 $f(x) = a^x$ が一意であることの証明

a) 自然数 $n$ に対して $a^{nx} = \underbrace{a^x a^x \cdots a^x}_{n \text{回の積}}$ が成り立つこと。

これは、$a^{nx} = (a^x)^n = \underbrace{a^x a^x \cdots a^x}_{n \text{回の積}}$ より明らか。

b) 実数 $x$ に対して $a^x \neq 0$ であること。

$a > 0$ なので、$a^x = 0$ となる $x$ は存在しない。

c) 実数 $x$ に対して $a^x \geq 0$ であること。

$a > 0$ なので、$a^x$ は常に正。したがって、$a^x \geq 0$ である。

d) 自然数 $n$ に対して $a^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{a^x}$ であること。

指数の定義より明らか。

e) $a^0 = 1$ であること。

定義より明らか。

f) 実数 $x$ に対して $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ であること。

定義より明らか。

3. 最終的な答え

(1)

$n$ を自然数とするとき、$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n\text{個}}$

$a^0 = 1$

$n$ を自然数とするとき、$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$m,n$ を自然数とするとき、$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$

$x$ を無理数とするとき、$a^x = \lim_{r \to x} a^r$ （$r$は$x$に近づく有理数）

(2)

a) $a^{nx} = \underbrace{a^x a^x \cdots a^x}_{n \text{回の積}}$

b) $a^x \neq 0$

c) $a^x > 0$

d) $a^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{a^x}$

e) $a^0 = 1$

f) $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$