与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + (\cos x) y = \cos x$ を、(1)定数変化法、(2)変数分離形と見た場合、(3)完全微分形と見た場合の3通りの方法で解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + (\cos x) y = \cos x$ を、(1)定数変化法、(2)変数分離形と見た場合、(3)完全微分形と見た場合の3通りの方法で解く。

2. 解き方の手順

(1) 定数変化法

まず、同次方程式 $\frac{dy}{dx} + (\cos x) y = 0$ を解きます。

$\frac{dy}{y} = -\cos x \, dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y} = \int -\cos x \, dx$

$\ln|y| = -\sin x + C_1$

$y = Ce^{-\sin x}$ (Cは任意定数)

次に、定数Cをxの関数C(x)に置き換えて、与えられた微分方程式の解を $y = C(x)e^{-\sin x}$ と仮定します。

この解を元の微分方程式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dC}{dx}e^{-\sin x} - C(x)e^{-\sin x}\cos x$

$\frac{dy}{dx} + (\cos x) y = \frac{dC}{dx}e^{-\sin x} - C(x)e^{-\sin x}\cos x + \cos x C(x)e^{-\sin x} = \cos x$

$\frac{dC}{dx}e^{-\sin x} = \cos x$

$\frac{dC}{dx} = \cos x e^{\sin x}$

両辺を積分すると、

$C(x) = \int \cos x e^{\sin x} \, dx = e^{\sin x} + C_2$ (C_2は任意定数)

したがって、解は

$y = (e^{\sin x} + C_2)e^{-\sin x} = 1 + C_2e^{-\sin x}$

(2) 変数分離形と見た場合

$\frac{dy}{dx} = \cos x - (\cos x) y = \cos x (1-y)$

$\frac{dy}{1-y} = \cos x \, dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{1-y} = \int \cos x \, dx$

$-\ln|1-y| = \sin x + C_3$

$\ln|1-y| = -\sin x - C_3$

$1-y = e^{-\sin x - C_3} = e^{-C_3}e^{-\sin x} = C_4e^{-\sin x}$ (C_4は任意定数)

$y = 1 - C_4e^{-\sin x}$

$y = 1 + Ce^{-\sin x}$ (Cは任意定数)

(3) 完全微分形と見た場合

微分方程式を書き換えると

$\frac{dy}{dx} + (\cos x) y = \cos x$

$\frac{dy}{dx} + (\cos x) y - \cos x = 0$

この方程式に積分因子$e^{\int \cos x dx}=e^{\sin x}$をかけると

$e^{\sin x}\frac{dy}{dx} + e^{\sin x}(\cos x) y - e^{\sin x}\cos x = 0$

$\frac{d}{dx}(ye^{\sin x}) = e^{\sin x}\cos x$

$\int\frac{d}{dx}(ye^{\sin x}) dx = \int e^{\sin x}\cos x dx$

$ye^{\sin x}=e^{\sin x} + C$

$y = 1 + Ce^{-\sin x}$

3. 最終的な答え

$y = 1 + Ce^{-\sin x}$ (Cは任意定数)