以下の4つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

1. 問題の内容

以下の4つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 2x}{x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ を利用します。

$\frac{x^2}{1 - \cos x} = \frac{1}{\frac{1-\cos x}{x^2}}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1-\cos x}{x^2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2x}{3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を利用します。

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2

(3) $\frac{2}{3}$

(4) 1