微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = e^x y^2$ を解く。

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = e^x y^2$ を解く。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式はベルヌーイ型微分方程式です。

まず、両辺を $y^2$ で割ります。

$\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{y} = e^x$

ここで、$v = \frac{1}{y}$ とおくと、$\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$ となります。

したがって、$\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$ なので、与えられた微分方程式は次のようになります。

$-\frac{dv}{dx} + v = e^x$

両辺に -1 を掛けて、

$\frac{dv}{dx} - v = -e^x$

これは線形微分方程式です。積分因子 $I(x)$ は、

$I(x) = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$

両辺に $e^{-x}$ を掛けて、

$e^{-x} \frac{dv}{dx} - e^{-x} v = -e^{0}$

$e^{-x} \frac{dv}{dx} - e^{-x} v = -1$

$\frac{d}{dx} (e^{-x} v) = -1$

両辺を $x$ について積分すると、

$\int \frac{d}{dx} (e^{-x} v) dx = \int -1 dx$

$e^{-x} v = -x + C$

したがって、$v = e^x(-x + C)$

$v = -xe^x + Ce^x$

$v = \frac{1}{y}$ なので、

$\frac{1}{y} = -xe^x + Ce^x$

したがって、

$y = \frac{1}{Ce^x - xe^x}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{Ce^x - xe^x}$