与えられた関数を微分する問題です。関数の形は、積の形、商の形、合成関数の形など様々です。公式3.1～3.4、4.7を用いることが指示されています。

はい、承知いたしました。画像にある微分問題について、それぞれ解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。関数の形は、積の形、商の形、合成関数の形など様々です。公式3.1～3.4、4.7を用いることが指示されています。

2. 解き方の手順

以下、各問題の解き方と答えです。

(1) $y = (3x - 1)e^{2x}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 3x - 1$, $v = e^{2x}$ とすると、

$u' = 3$, $v' = 2e^{2x}$ となります。

$y' = 3e^{2x} + (3x - 1)(2e^{2x})$

$y' = 3e^{2x} + (6x - 2)e^{2x}$

$y' = (6x + 1)e^{2x}$

(2) $y = e^{-x}(e^{4x} + 1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = e^{-x}$, $v = e^{4x} + 1$ とすると、

$u' = -e^{-x}$, $v' = 4e^{4x}$ となります。

$y' = -e^{-x}(e^{4x} + 1) + e^{-x}(4e^{4x})$

$y' = -e^{3x} - e^{-x} + 4e^{3x}$

$y' = 3e^{3x} - e^{-x}$

(3) $y = \frac{e^{-x} + 1}{x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = e^{-x} + 1$, $v = x$ とすると、

$u' = -e^{-x}$, $v' = 1$ となります。

$y' = \frac{-e^{-x}x - (e^{-x} + 1)(1)}{x^2}$

$y' = \frac{-xe^{-x} - e^{-x} - 1}{x^2}$

$y' = \frac{-(x+1)e^{-x} - 1}{x^2}$

(4) $y = \frac{x + 2}{e^{3x} + 1}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x + 2$, $v = e^{3x} + 1$ とすると、

$u' = 1$, $v' = 3e^{3x}$ となります。

$y' = \frac{1(e^{3x} + 1) - (x + 2)(3e^{3x})}{(e^{3x} + 1)^2}$

$y' = \frac{e^{3x} + 1 - 3xe^{3x} - 6e^{3x}}{(e^{3x} + 1)^2}$

$y' = \frac{-5e^{3x} - 3xe^{3x} + 1}{(e^{3x} + 1)^2}$

$y' = \frac{-(3x+5)e^{3x} + 1}{(e^{3x} + 1)^2}$

(5) $y = e^{\frac{1}{x}}$

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = \frac{1}{x} = x^{-1}$ とすると、

$\frac{du}{dx} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ となります。

$y = e^u$ より、$\frac{dy}{du} = e^u = e^{\frac{1}{x}}$

$y' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$y' = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

(6) $y = \frac{1}{e^{x^2 - x}}$

$y = e^{-(x^2-x)}$ と書き換えられます。

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = -(x^2-x) = -x^2 + x$ とすると、

$\frac{du}{dx} = -2x + 1$ となります。

$y = e^{u}$ より、$\frac{dy}{du} = e^u = e^{-x^2+x}$

$y' = e^{-x^2+x} \cdot (-2x+1)$

$y' = (1-2x)e^{-x^2+x}$

(7) $y = \frac{1}{(e^{-3x} + 2)^6}$

$y = (e^{-3x} + 2)^{-6}$ と書き換えられます。

合成関数の微分公式を複数回用います。

$u = e^{-3x} + 2$とすると、

$\frac{du}{dx} = -3e^{-3x}$

$y = u^{-6}$なので、$\frac{dy}{du} = -6u^{-7} = -6(e^{-3x}+2)^{-7}$

$y' = -6(e^{-3x}+2)^{-7} \cdot (-3e^{-3x})$

$y' = 18e^{-3x}(e^{-3x} + 2)^{-7}$

$y' = \frac{18e^{-3x}}{(e^{-3x}+2)^7}$

(8) $y = \sqrt{e^{2x} + 5}$

$y = (e^{2x} + 5)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えられます。

合成関数の微分公式を複数回用います。

$u = e^{2x} + 5$とすると、

$\frac{du}{dx} = 2e^{2x}$

$y = u^{\frac{1}{2}}$なので、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(e^{2x}+5)^{-\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}(e^{2x}+5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2e^{2x}$

$y' = e^{2x}(e^{2x}+5)^{-\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+5}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (6x + 1)e^{2x}$

(2) $y' = 3e^{3x} - e^{-x}$

(3) $y' = \frac{-(x+1)e^{-x} - 1}{x^2}$

(4) $y' = \frac{-(3x+5)e^{3x} + 1}{(e^{3x} + 1)^2}$

(5) $y' = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

(6) $y' = (1-2x)e^{-x^2+x}$

(7) $y' = \frac{18e^{-3x}}{(e^{-3x}+2)^7}$

(8) $y' = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+5}}$