与えられた関数 $y$ を、$e^{ax}$ または $a^x$ の形に変形してから、微分する問題です。ここで、$e$ は自然対数の底を表します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を、$e^{ax}$ または $a^x$ の形に変形してから、微分する問題です。ここで、$e$ は自然対数の底を表します。

2. 解き方の手順

各問題について、$y$ を簡略化し、$e^{ax}$ の形に変形し、微分を行います。$e^{ax}$ の微分は、$ae^{ax}$ となります。

(1) $y = e^{2x} e^{4x}$

$y = e^{2x+4x} = e^{6x}$

$\frac{dy}{dx} = 6e^{6x}$

(2) $y = \frac{1}{e^{3x}}$

$y = e^{-3x}$

$\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x}$

(3) $y = \frac{e^{x}}{e^{5x}}$

$y = e^{x-5x} = e^{-4x}$

$\frac{dy}{dx} = -4e^{-4x}$

(4) $y = \sqrt{e^{8x}}$

$y = (e^{8x})^{\frac{1}{2}} = e^{4x}$

$\frac{dy}{dx} = 4e^{4x}$

(5) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^{6x}}}$

$y = \frac{1}{(e^{6x})^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{e^{2x}} = e^{-2x}$

$\frac{dy}{dx} = -2e^{-2x}$

(6) $y = e^{3x} \sqrt{e^{5x}}$

$y = e^{3x} (e^{5x})^{\frac{1}{2}} = e^{3x} e^{\frac{5}{2}x} = e^{3x + \frac{5}{2}x} = e^{\frac{11}{2}x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{11}{2}e^{\frac{11}{2}x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 6e^{6x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -4e^{-4x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = 4e^{4x}$

(5) $\frac{dy}{dx} = -2e^{-2x}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{11}{2}e^{\frac{11}{2}x}$