与えられた極限値を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3}-x)$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1}-x)$ (3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x}-x)$ (4) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$

1. 問題の内容

与えられた極限値を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3}-x)$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1}-x)$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x}-x)$

(4) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$

2. 解き方の手順

これらの極限は、$\infty - \infty$ の不定形であるため、有理化を行います。

(1) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3}-x)$

$\sqrt{x^2+3}-x = \frac{(\sqrt{x^2+3}-x)(\sqrt{x^2+3}+x)}{\sqrt{x^2+3}+x} = \frac{x^2+3-x^2}{\sqrt{x^2+3}+x} = \frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}+1} = \frac{0}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{0}{2} = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1}-x)$

$\sqrt{x^2-1}-x = \frac{(\sqrt{x^2-1}-x)(\sqrt{x^2-1}+x)}{\sqrt{x^2-1}+x} = \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x} = \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+1} = \frac{0}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{0}{2} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x}-x)$

$\sqrt{x^2+3x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} = \frac{3}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$

$\sqrt{x^2-x}-x = \frac{(\sqrt{x^2-x}-x)(\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+x} = \frac{x^2-x-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x} = \frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x\sqrt{1-\frac{1}{x}}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $-\frac{1}{2}$