与えられた複数の関数を微分する問題です。具体的には、 22.(1) $y = x^2 \log x$, (2) $y = \log(4x + 3)$, (3) $y = \log(-2x)$ 23.(1) $y = 3^x$, (2) $y = (\frac{1}{2})^x$ 24.(1) $y = \log_3 x$, (2) $y = \log_2(3x - 1)$ これらの関数をそれぞれ微分します。ただし、$\log$ は自然対数を意味するものとします。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた複数の関数を微分する問題です。具体的には、

22.(1) $y = x^2 \log x$, (2) $y = \log(4x + 3)$, (3) $y = \log(-2x)$

23.(1) $y = 3^x$, (2) $y = (\frac{1}{2})^x$

24.(1) $y = \log_3 x$, (2) $y = \log_2(3x - 1)$

これらの関数をそれぞれ微分します。ただし、$\log$ は自然対数を意味するものとします。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で微分を行います。

22.(1) $y = x^2 \log x$：積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$, $v = \log x$ とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$ なので、

$y' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

22.(2) $y = \log(4x + 3)$：合成関数の微分法 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を用います。

$f(u) = \log u$, $g(x) = 4x + 3$ とすると、$f'(u) = \frac{1}{u}$, $g'(x) = 4$ なので、

$y' = \frac{1}{4x + 3} \cdot 4 = \frac{4}{4x + 3}$

22.(3) $y = \log(-2x)$：合成関数の微分法を用います。

$f(u) = \log u$, $g(x) = -2x$ とすると、$f'(u) = \frac{1}{u}$, $g'(x) = -2$ なので、

$y' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{1}{x}$

23.(1) $y = 3^x$：指数関数の微分法 $(a^x)' = a^x \log a$ を用います。

$y' = 3^x \log 3$

23.(2) $y = (\frac{1}{2})^x$：指数関数の微分法を用います。

$y' = (\frac{1}{2})^x \log (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^x (-\log 2) = -(\frac{1}{2})^x \log 2$

24.(1) $y = \log_3 x$：底の変換公式 $\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ を用います。

$y = \frac{\log x}{\log 3}$ より、

$y' = \frac{1}{x \log 3}$

24.(2) $y = \log_2(3x - 1)$：底の変換公式と合成関数の微分法を用います。

$y = \frac{\log(3x - 1)}{\log 2}$ より、

$y' = \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{3x - 1} \cdot 3 = \frac{3}{(3x - 1) \log 2}$

3. 最終的な答え

22.(1) $y' = x(2 \log x + 1)$

22.(2) $y' = \frac{4}{4x + 3}$

22.(3) $y' = \frac{1}{x}$

23.(1) $y' = 3^x \log 3$

23.(2) $y' = -(\frac{1}{2})^x \log 2$

24.(1) $y' = \frac{1}{x \log 3}$

24.(2) $y' = \frac{3}{(3x - 1) \log 2}$