与えられた8つの関数について、微分を計算する問題です。 (1) $y = (3x-1)e^{2x}$ (2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$ (3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$ (4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$ (5) $y = e^{\frac{1}{x}}$ (6) $y = \frac{1}{e^{x^2-x}}$ (7) $y = \frac{1}{(e^{-3x}+2)^6}$ (8) $y = \sqrt{e^{2x}+5}$

はい、承知いたしました。与えられた関数の微分を求める問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた8つの関数について、微分を計算する問題です。

(1) $y = (3x-1)e^{2x}$

(2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$

(3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$

(4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$

(5) $y = e^{\frac{1}{x}}$

(6) $y = \frac{1}{e^{x^2-x}}$

(7) $y = \frac{1}{(e^{-3x}+2)^6}$

(8) $y = \sqrt{e^{2x}+5}$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算します。積の微分、商の微分、合成関数の微分など、適切な公式を用います。

(1) $y = (3x-1)e^{2x}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = 3x-1$, $v = e^{2x}$ とすると、$u' = 3$, $v' = 2e^{2x}$ です。

よって、

$y' = 3e^{2x} + (3x-1)2e^{2x} = 3e^{2x} + (6x-2)e^{2x} = (6x+1)e^{2x}$

(2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$

$y = e^{3x} + e^{-x}$ と変形できます。

$y' = 3e^{3x} - e^{-x}$

(3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。$u = e^{-x}+1$, $v = x$ とすると、$u' = -e^{-x}$, $v' = 1$ です。

よって、

$y' = \frac{-e^{-x}x - (e^{-x}+1)}{x^2} = \frac{-xe^{-x} - e^{-x} - 1}{x^2} = -\frac{(x+1)e^{-x}+1}{x^2}$

(4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。$u = x+2$, $v = e^{3x}+1$ とすると、$u' = 1$, $v' = 3e^{3x}$ です。

よって、

$y' = \frac{1(e^{3x}+1) - (x+2)3e^{3x}}{(e^{3x}+1)^2} = \frac{e^{3x}+1 - 3xe^{3x} - 6e^{3x}}{(e^{3x}+1)^2} = \frac{-5e^{3x} - 3xe^{3x} + 1}{(e^{3x}+1)^2} = \frac{1-(3x+5)e^{3x}}{(e^{3x}+1)^2}$

(5) $y = e^{\frac{1}{x}}$

合成関数の微分公式 $(e^{u})' = e^{u}u'$ を用います。$u = \frac{1}{x}$ とすると、$u' = -\frac{1}{x^2}$ です。

よって、

$y' = e^{\frac{1}{x}} (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

(6) $y = \frac{1}{e^{x^2-x}} = e^{-(x^2-x)} = e^{-x^2+x}$

合成関数の微分公式 $(e^{u})' = e^{u}u'$ を用います。$u = -x^2+x$ とすると、$u' = -2x+1$ です。

よって、

$y' = e^{-x^2+x}(-2x+1) = (1-2x)e^{-x^2+x}$

(7) $y = \frac{1}{(e^{-3x}+2)^6} = (e^{-3x}+2)^{-6}$

合成関数の微分公式 $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ を用います。$u = e^{-3x}+2$ とすると、$u' = -3e^{-3x}$ です。

よって、

$y' = -6(e^{-3x}+2)^{-7}(-3e^{-3x}) = 18e^{-3x}(e^{-3x}+2)^{-7} = \frac{18e^{-3x}}{(e^{-3x}+2)^7}$

(8) $y = \sqrt{e^{2x}+5} = (e^{2x}+5)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分公式 $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ を用います。$u = e^{2x}+5$ とすると、$u' = 2e^{2x}$ です。

よって、

$y' = \frac{1}{2}(e^{2x}+5)^{-\frac{1}{2}}(2e^{2x}) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+5}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (6x+1)e^{2x}$

(2) $y' = 3e^{3x} - e^{-x}$

(3) $y' = -\frac{(x+1)e^{-x}+1}{x^2}$

(4) $y' = \frac{1-(3x+5)e^{3x}}{(e^{3x}+1)^2}$

(5) $y' = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

(6) $y' = (1-2x)e^{-x^2+x}$

(7) $y' = \frac{18e^{-3x}}{(e^{-3x}+2)^7}$

(8) $y' = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+5}}$