与えられた5つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (3x-1)e^{2x}$ (2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$ (3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$ (4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$ (5) $y = e^{\frac{1}{x}}$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた5つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (3x-1)e^{2x}$

(2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$

(3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$

(4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$

(5) $y = e^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (3x-1)e^{2x}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

$u = 3x-1$, $v = e^{2x}$ とすると、$u' = 3$, $v' = 2e^{2x}$

$y' = 3e^{2x} + (3x-1)(2e^{2x}) = 3e^{2x} + (6x-2)e^{2x} = (6x+1)e^{2x}$

(2) $y = e^{-x}(e^{4x}+1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

$u = e^{-x}$, $v = e^{4x}+1$ とすると、$u' = -e^{-x}$, $v' = 4e^{4x}$

$y' = -e^{-x}(e^{4x}+1) + e^{-x}(4e^{4x}) = -e^{3x} - e^{-x} + 4e^{3x} = 3e^{3x} - e^{-x}$

(3) $y = \frac{e^{-x}+1}{x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。

$u = e^{-x}+1$, $v = x$ とすると、$u' = -e^{-x}$, $v' = 1$

$y' = \frac{-e^{-x}x - (e^{-x}+1)(1)}{x^2} = \frac{-xe^{-x} - e^{-x} - 1}{x^2} = \frac{-(x+1)e^{-x}-1}{x^2}$

(4) $y = \frac{x+2}{e^{3x}+1}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。

$u = x+2$, $v = e^{3x}+1$ とすると、$u' = 1$, $v' = 3e^{3x}$

$y' = \frac{1(e^{3x}+1) - (x+2)(3e^{3x})}{(e^{3x}+1)^2} = \frac{e^{3x}+1 - 3xe^{3x} - 6e^{3x}}{(e^{3x}+1)^2} = \frac{-5e^{3x} - 3xe^{3x} + 1}{(e^{3x}+1)^2}$

(5) $y = e^{\frac{1}{x}}$

合成関数の微分公式 $(e^{f(x)})' = e^{f(x)}f'(x)$ を利用します。

$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$ とすると、$f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

$y' = e^{\frac{1}{x}}(-\frac{1}{x^2}) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (6x+1)e^{2x}$

(2) $y' = 3e^{3x} - e^{-x}$

(3) $y' = \frac{-(x+1)e^{-x}-1}{x^2}$

(4) $y' = \frac{-5e^{3x} - 3xe^{3x} + 1}{(e^{3x}+1)^2}$

(5) $y' = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$