$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$ を計算する問題です。ここで $\sin^{-1} x$ は逆正弦関数（アークサイン）を表します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$ を計算する問題です。ここで $\sin^{-1} x$ は逆正弦関数（アークサイン）を表します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、ロピタルの定理または既知の極限を利用する方法があります。

(a) ロピタルの定理を用いる場合：

$x \to 0$ のとき、$\sin^{-1} x \to 0$ かつ $x \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。つまり、分子と分母をそれぞれ微分して、極限を取ります。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$x \to 0$ のとき、$\sqrt{1-x^2} \to \sqrt{1-0} = 1$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{1} = 1$$

(b) 既知の極限を利用する場合：

$y = \sin^{-1} x$ と置くと、$x = \sin y$ となります。

$x \to 0$ のとき、$y \to 0$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\sin y}{y}}$$

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ はよく知られた極限であるため、

$$\lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{1} = 1$$

3. 最終的な答え

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