$\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解くことができます。

$u = \log(x^2+1)$ と $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{2x}{x^2+1}dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx = \left[x\log(x^2+1)\right]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{x^2+1} \, dx$

$= \log(2) - 2\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} \, dx$

ここで、$\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} \, dx = \int_0^1 \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \, dx = \int_0^1 (1 - \frac{1}{x^2+1}) \, dx = [x - \arctan(x)]_0^1 = 1 - \arctan(1) = 1 - \frac{\pi}{4}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx = \log(2) - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$