与えられた関数 $y = \frac{x-1}{\log x + 1}$ の微分 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x-1}{\log x + 1}$ の微分 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は分数関数なので、商の微分公式を使います。商の微分公式は次の通りです。

$\qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x-1$、$v = \log x + 1$ とおくと、

$u' = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(\log x + 1) = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \frac{1 \cdot (\log x + 1) - (x-1) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

$y' = \frac{\log x + 1 - 1 + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

$y' = \frac{\log x + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

$y' = \frac{x \log x + 1}{x (\log x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{x \log x + 1}{x(\log x + 1)^2}$