与えられた関数を微分する問題です。ただし、$x > 0$ とします。 (1) $y = (x-1)\sqrt{x}$ (2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ただし、$x > 0$ とします。

(1) $y = (x-1)\sqrt{x}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)\sqrt{x}$ について:

まず、関数を整理します。

$y = x\sqrt{x} - \sqrt{x} = x^{3/2} - x^{1/2}$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$ について:

商の微分公式 $\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $v = x+2$ とすると、

$u' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $v' = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+2) - \sqrt{x}(1)}{(x+2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x+2}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+2 - 2x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x-1}{2\sqrt{x}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$