問題は、与えられた関数を微分することです。 (1) $(3x^2+5x+1)e^{3x^2+2x+1}$ を $x$ について微分する。 (2) $3e^{3x}+4e^{2x}-e^{x}$ を $x$ について微分する。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数を微分することです。

(1) $(3x^2+5x+1)e^{3x^2+2x+1}$ を $x$ について微分する。

(2) $3e^{3x}+4e^{2x}-e^{x}$ を $x$ について微分する。

2. 解き方の手順

(1) 積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$f(x) = 3x^2+5x+1$

$g(x) = e^{3x^2+2x+1}$

とすると、積の微分法より、

$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$f'(x) = 6x+5$

$g(x) = e^{u(x)}$ ($u(x) = 3x^2+2x+1$)

$g'(x) = u'(x)e^{u(x)} = (6x+2)e^{3x^2+2x+1}$

したがって、

$(3x^2+5x+1)e^{3x^2+2x+1}$ の微分は、

$(6x+5)e^{3x^2+2x+1} + (3x^2+5x+1)(6x+2)e^{3x^2+2x+1}$

$= e^{3x^2+2x+1}[(6x+5)+(3x^2+5x+1)(6x+2)]$

$= e^{3x^2+2x+1}[6x+5+18x^3+30x^2+6x+6x^2+10x+2]$

$= e^{3x^2+2x+1}[18x^3+36x^2+22x+7]$

(2) 指数関数の微分を用いる。

$(e^{ax})' = ae^{ax}$

$3e^{3x}+4e^{2x}-e^{x}$ を $x$ について微分すると、

$3(3e^{3x})+4(2e^{2x})-e^{x} = 9e^{3x}+8e^{2x}-e^{x}$

3. 最終的な答え

(1) $(3x^2+5x+1)e^{3x^2+2x+1}$ の微分は、$e^{3x^2+2x+1}(18x^3+36x^2+22x+7)$

(2) $3e^{3x}+4e^{2x}-e^{x}$ の微分は、$9e^{3x}+8e^{2x}-e^{x}$