与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = (x^2 + x)(e^{3x} + 1)$ (2) $y = (e^x + 2)(e^{2x} - 1)$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = (x^2 + x)(e^{3x} + 1)$

(2) $y = (e^x + 2)(e^{2x} - 1)$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 + x$ とすると、$u' = 2x + 1$ です。

$v = e^{3x} + 1$ とすると、$v' = 3e^{3x}$ です。

したがって、

$y' = (2x + 1)(e^{3x} + 1) + (x^2 + x)(3e^{3x})$

$= (2x + 1)e^{3x} + 2x + 1 + 3x^2e^{3x} + 3xe^{3x}$

$= (3x^2 + 5x + 1)e^{3x} + 2x + 1$

(2) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = e^x + 2$ とすると、$u' = e^x$ です。

$v = e^{2x} - 1$ とすると、$v' = 2e^{2x}$ です。

したがって、

$y' = e^x(e^{2x} - 1) + (e^x + 2)(2e^{2x})$

$= e^{3x} - e^x + 2e^{3x} + 4e^{2x}$

$= 3e^{3x} + 4e^{2x} - e^x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (3x^2 + 5x + 1)e^{3x} + 2x + 1$

(2) $y' = 3e^{3x} + 4e^{2x} - e^x$