$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の差の公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いて、$\sin 3x - \sin x$ を変形します。

$A = 3x$, $B = x$ とすると、

$\sin 3x - \sin x = 2 \cos \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} = 2 \cos \frac{4x}{2} \sin \frac{2x}{2} = 2 \cos 2x \sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos 2x \sin x}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \cos 2x \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \cos 2x = \cos (2 \cdot 0) = \cos 0 = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用します。

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

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