関数 $y = \log(1+x)$ の第n次導関数を求める問題です。ただし、対数は自然対数とします。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(1+x)$ の第n次導関数を求める問題です。ただし、対数は自然対数とします。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つけます。

$y = \log(1+x)$

1階微分:

$y' = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

2階微分:

$y'' = -1(1+x)^{-2} = \frac{-1}{(1+x)^2}$

3階微分:

$y''' = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3} = \frac{2}{(1+x)^3}$

4階微分:

$y^{(4)} = 2(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4} = \frac{-6}{(1+x)^4}$

上記の計算から、一般的にn階微分は次の形で表されると推測できます。

$y^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

3. 最終的な答え

$\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$