与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^{-1})}{x}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^{-1})}{x}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$x^{-1} = \frac{1}{x}$ であることに注意します。したがって、問題の極限は、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}$$

を計算することになります。

$x$が0に近づくとき、$\frac{1}{x}$は無限大に発散します。

$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$は常に-1から1の間の値をとり振動します。

したがって、$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$は極限値を持ちません。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(1/x)}{x}$ が存在するかどうかを考えます。

$-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ より、

$$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin(1/x)}{x} \leq \frac{1}{x}$$

となります。ここで、$x$が正から0に近づく場合（$x \to 0+$）、$\frac{1}{x}$は正の無限大に発散し、$-\frac{1}{x}$は負の無限大に発散します。

一方、$x$が負から0に近づく場合（$x \to 0-$）、$\frac{1}{x}$は負の無限大に発散し、$-\frac{1}{x}$は正の無限大に発散します。

したがって、$x \to 0+$と$x \to 0-$で$\frac{\sin(1/x)}{x}$の挙動が異なるため、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(1/x)}{x}$は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しません。