$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で、次の方程式を満たす $\theta$ を求めよ。 $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{2}$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で、次の方程式を満たす $\theta$ を求めよ。

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

三角関数の合成を用いて、方程式を解きます。

まず、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を合成します。

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

とおきます。すると、

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2(\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta)$

となります。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ を考えると、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3})$

となります。

元の式に代入すると、

$2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{2}$

$\sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} \leq 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

したがって、

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}$ または $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{4}$ となります。

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}$ より、

$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$

これは、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲を満たさないので不適です。

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{4}$ より、

$\theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi - 4\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

これは、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲を満たします。

また、$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$とすると、

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{4}$より、

$\theta = \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{27\pi-4\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$

これは、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲を満たします。

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$とすると、

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{4}$より、

$\theta = \frac{11\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{33\pi-4\pi}{12} = \frac{29\pi}{12}$

これは、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲を満たしません。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{5\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$