$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x + \frac{\pi}{2})}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x + \frac{\pi}{2})}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(x + \frac{\pi}{2})$ を三角関数の加法定理を用いて展開します。

$\cos(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(x)\sin(\frac{\pi}{2})$

ここで、$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$、$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ であるから、

$\cos(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1 = -\sin(x)$

したがって、与えられた極限は、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x + \frac{\pi}{2})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{x}$

定数倍の極限の性質より、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{x} = -\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ であるから、

$-\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = -1$

3. 最終的な答え

-1