与えられた2つの微分方程式を解きます。 (1) $y' - 2xy = 0$ (2) $y' - y \sin x = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの微分方程式を解きます。

(1) $y' - 2xy = 0$

(2) $y' - y \sin x = 0$

2. 解き方の手順

(1) $y' - 2xy = 0$

この微分方程式は変数分離形です。

$y' = \frac{dy}{dx}$ なので、与式は以下のように書き換えられます。

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

両辺を$y$で割り、$dx$を右辺に移動します。

$\frac{dy}{y} = 2x dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int 2x dx$

$\ln |y| = x^2 + C_1$

両辺を指数関数に適用します。

$|y| = e^{x^2 + C_1} = e^{x^2} e^{C_1}$

$y = \pm e^{C_1} e^{x^2}$

$C = \pm e^{C_1}$ とおくと、

$y = C e^{x^2}$

(2) $y' - y \sin x = 0$

この微分方程式も変数分離形です。

$y' = \frac{dy}{dx}$ なので、与式は以下のように書き換えられます。

$\frac{dy}{dx} = y \sin x$

両辺を$y$で割り、$dx$を右辺に移動します。

$\frac{dy}{y} = \sin x dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int \sin x dx$

$\ln |y| = -\cos x + C_2$

両辺を指数関数に適用します。

$|y| = e^{-\cos x + C_2} = e^{-\cos x} e^{C_2}$

$y = \pm e^{C_2} e^{-\cos x}$

$C = \pm e^{C_2}$ とおくと、

$y = C e^{-\cos x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = C e^{x^2}$

(2) $y = C e^{-\cos x}$