与えられた3つの微分に関する問題を解く。 (1) $(x-1)(x-2)(x-3)$ を微分した結果を $Ax^2 + Bx + C$ の形で表し、$A$, $B$, $C$ の値を求める。 (2) $\frac{1}{x}$ を微分した結果を $A\frac{B}{Cx^D}$ の形で表し、$A$の符号，$B$, $C$, $D$ の値を求める。 (3) $e^x \sin x$ を微分した結果を $e^{Ax}(B \sin x + C \cos x)$ の形で表し、$A$, $B$, $C$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの微分に関する問題を解く。

(1) $(x-1)(x-2)(x-3)$ を微分した結果を $Ax^2 + Bx + C$ の形で表し、$A$, $B$, $C$ の値を求める。

(2) $\frac{1}{x}$ を微分した結果を $A\frac{B}{Cx^D}$ の形で表し、$A$の符号，$B$, $C$, $D$ の値を求める。

(3) $e^x \sin x$ を微分した結果を $e^{Ax}(B \sin x + C \cos x)$ の形で表し、$A$, $B$, $C$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)(x-2)(x-3)$ を展開して微分する。

$$(x-1)(x-2)(x-3) = (x^2 - 3x + 2)(x-3) = x^3 - 3x^2 + 2x - 3x^2 + 9x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$$

これを微分すると、

$$\frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 3x^2 - 12x + 11$$

したがって、$A=3$, $B=-12$, $C=11$。

(2) $\frac{1}{x}$ を微分する。

$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx} (x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

これを$A\frac{B}{Cx^D}$ の形で表すと、$A=-1$, $B=1$, $C=1$, $D=2$ となる。Aの符号はマイナス。

(3) $e^x \sin x$ を微分する。

$$\frac{d}{dx}(e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$$

これを $e^{Ax}(B \sin x + C \cos x)$ の形で表すと、$A=1$, $B=1$, $C=1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $A = 3$, $B = -12$, $C = 11$

(2) Aの符号：- , $B = 1$, $C = 1$, $D = 2$

(3) $A = 1$, $B = 1$, $C = 1$