与えられた関数 $y = \frac{\log x - 1}{x}$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\log x - 1}{x}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。商の微分公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

である。

この問題では、$u(x) = \log x - 1$、$v(x) = x$ とおく。すると、

$u'(x) = \frac{1}{x}$

$v'(x) = 1$

となる。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\frac{1}{x})(x) - (\log x - 1)(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x + 1}{x^2} = \frac{2 - \log x}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 - \log x}{x^2}$