$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x+\frac{\pi}{2})}{x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x+\frac{\pi}{2})}{x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(x+\frac{\pi}{2})$ を三角関数の加法定理を用いて展開します。

$\cos(x+\frac{\pi}{2}) = \cos x \cos \frac{\pi}{2} - \sin x \sin \frac{\pi}{2}$

$\cos \frac{\pi}{2} = 0$ であり、 $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ であるので、

$\cos(x+\frac{\pi}{2}) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x+\frac{\pi}{2})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という既知の極限を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{x} = - \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = -1$

3. 最終的な答え

-1