与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解することを考えますが、直接分解するのは難しいです。そこで、被積分関数をよく観察し、$x\sin x + 9\cos x$ を微分してみます。

$\frac{d}{dx}(x\sin x + 9\cos x) = \sin x + x\cos x - 9\sin x = x\cos x - 8\sin x$

これを利用することを考え、被積分関数を次のように変形します。

$\frac{x^2 + 72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{x\sin x + 9\cos x}{x\sin x + 9\cos x} \cdot \frac{x\sin x + 9\cos x}{x\sin x + 9\cos x}$

ここで、$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ という公式を思い出します。

$f(x) = x\cos x - 8\sin x$とすると、

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x\sin x + 9\cos x}\right) = -\frac{x\cos x - 8\sin x}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$

したがって、積分は

$\int \frac{x^2 + 72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx = \int \frac{x^2 + 81 - 9}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx = \int \frac{x^2 + 81}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx - \int \frac{9}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx$

$\int \frac{x\sin x + 9\cos x}{x\sin x + 9\cos x} \frac{x\cos x - 8\sin x + x\sin x + 9\cos x - (x\cos x - 8\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2}dx$

$\int \frac{x\cos x - 8\sin x}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx = - \frac{1}{x\sin x + 9\cos x}$ となることを利用して、

$\int \frac{x\cos x - 8\sin x}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx = - \frac{1}{x\sin x + 9\cos x} + C$

$\int \frac{f'(x)}{f(x)^2} = -\frac{1}{f(x)}$ を利用して、

$\frac{x\sin x + 9\cos x}{x\sin x + 9\cos x}$ を導き出す。

$\frac{x^2 + 72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{x\cos x - 8\sin x}{x\sin x + 9\cos x}$

$\frac{d}{dx} \left( \frac{-x}{x\sin x + 9\cos x} \right) = \frac{-(x\sin x + 9\cos x) - (-x)(\sin x + x\cos x - 9\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{-x\sin x - 9\cos x + x\sin x + x^2\cos x - 9x\sin x}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$

$\frac{x\sin x - 9\cos x}{x\sin x + 9\cos x} + x^2$

$\frac{x\sin x - 9\cos x}{x\sin x + 9\cos x} + x^2$

$\frac{x}{x\sin x + 9\cos x}$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{x\sin x + 9\cos x} + C$