関数 $f(t) = \int_{-1}^{1} |(x-t+2)(x+t)| dx$ （ただし $t \geq 1$） について、以下の問いに答える。 (1) $f(t)$ を求めよ。 (2) $f(t)$ を最小にする $t$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = \int_{-1}^{1} |(x-t+2)(x+t)| dx$ （ただし $t \geq 1$） について、以下の問いに答える。

(1) $f(t)$ を求めよ。

(2) $f(t)$ を最小にする $t$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(t)$ を求める。

まず、積分の中身の絶対値記号を外すために、$(x-t+2)(x+t)$ の符号を調べる。

$x-t+2=0$ となる $x$ は $x=t-2$ であり、$x+t=0$ となる $x$ は $x=-t$ である。

積分範囲は $-1 \leq x \leq 1$ であり、$t \geq 1$ なので、$-t < -1$ である。また、$t \geq 1$ より、 $t-2 \geq -1$ であり、$t-2 \leq 1$ すなわち $t \leq 3$ のとき $-1 \leq t-2 \leq 1$ である。

したがって、$1 \leq t \leq 3$ の場合と $t > 3$ の場合に分けて積分を計算する。

(i) $1 \leq t \leq 3$ のとき、$-1 \leq x \leq -t$ で $(x-t+2)(x+t) \geq 0$、$-t \leq x \leq t-2$ で $(x-t+2)(x+t) \leq 0$、$t-2 \leq x \leq 1$ で $(x-t+2)(x+t) \geq 0$ となる。

$f(t) = \int_{-1}^{-t} (x-t+2)(x+t) dx - \int_{-t}^{t-2} (x-t+2)(x+t) dx + \int_{t-2}^{1} (x-t+2)(x+t) dx$

$(x-t+2)(x+t) = x^2 + (2-t+t)x + t(2-t) = x^2 + 2x + 2t - t^2$

$\int (x^2 + 2x + 2t - t^2) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + (2t - t^2)x + C$

$f(t) = [\frac{x^3}{3} + x^2 + (2t - t^2)x]_{-1}^{-t} - [\frac{x^3}{3} + x^2 + (2t - t^2)x]_{-t}^{t-2} + [\frac{x^3}{3} + x^2 + (2t - t^2)x]_{t-2}^{1}$

$f(t) = \frac{4}{3}t^3 - 4t^2 + 4t + \frac{4}{3}$

(ii) $t > 3$ のとき、$-1 \leq x \leq 1$ で $x-t+2 < 0$ なので、$(x-t+2)(x+t)$ の符号は $x+t$ の符号で決まる。

$-1 \leq x \leq 1$ において、$x+t > 0$ なので、$(x-t+2)(x+t) < 0$ となる。

$f(t) = - \int_{-1}^{1} (x-t+2)(x+t) dx = - \int_{-1}^{1} (x^2+2x+2t-t^2) dx = - [\frac{x^3}{3}+x^2+(2t-t^2)x]_{-1}^{1}$

$f(t) = - [\frac{2}{3} + 2(2t-t^2)] = 2t^2 - 4t - \frac{2}{3}$

(2) $f(t)$ を最小にする $t$ の値と、そのときの最小値を求める。

(i) $1 \leq t \leq 3$ のとき、 $f(t) = \frac{4}{3}t^3 - 4t^2 + 4t + \frac{4}{3}$

$f'(t) = 4t^2 - 8t + 4 = 4(t^2 - 2t + 1) = 4(t-1)^2 \geq 0$

$f(t)$ は単調増加なので、$t=1$ のとき最小値をとる。 $f(1) = \frac{4}{3}-4+4+\frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

(ii) $t > 3$ のとき、 $f(t) = 2t^2 - 4t - \frac{2}{3}$

$f'(t) = 4t - 4 = 4(t-1) > 0$

$f(t)$ は単調増加なので、$t=3$ のとき最小値をとる。 $f(3) = 2(9)-4(3)-\frac{2}{3} = 18-12-\frac{2}{3} = 6-\frac{2}{3} = \frac{16}{3}$

したがって、$t=1$ のとき最小値 $\frac{8}{3}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1)

$1 \leq t \leq 3$ のとき、$f(t) = \frac{4}{3}t^3 - 4t^2 + 4t + \frac{4}{3}$

$t > 3$ のとき、$f(t) = 2t^2 - 4t - \frac{2}{3}$

(2)

$t = 1$ のとき、最小値 $\frac{8}{3}$