$\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ を示す問題です。

1. 問題の内容

$\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\arctan \frac{1}{2} = \alpha$、$\arctan \frac{1}{3} = \beta$ とおきます。

このとき、$\tan \alpha = \frac{1}{2}$、$\tan \beta = \frac{1}{3}$ となります。

$\tan(\alpha + \beta)$ を考えます。$\tan$ の加法定理より、

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

ここで、$\tan \alpha = \frac{1}{2}$、$\tan \beta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

したがって、$\tan(\alpha + \beta) = 1$ です。

$\alpha = \arctan \frac{1}{2}$、$\beta = \arctan \frac{1}{3}$ であり、$\frac{1}{2}>0$, $\frac{1}{3}>0$ なので、 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$です。

したがって、$0 < \alpha + \beta < \pi$です。

$\tan(\alpha + \beta) = 1$ と $0 < \alpha + \beta < \pi$ より、

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ となります。

よって、$\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ が示されました。

3. 最終的な答え

$\arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$