次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} x \sin(2/x)$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} x \sin(2/x)$

2. 解き方の手順

$\sin$関数の性質を利用します。

$-1 \leq \sin(2/x) \leq 1$

この不等式に$x$を掛けます。ただし、$x$の符号によって不等号の向きが変わることに注意します。

$x > 0$のとき、

$-x \leq x \sin(2/x) \leq x$

$x < 0$のとき、

$-x \geq x \sin(2/x) \geq x$

つまり、

$x \leq x \sin(2/x) \leq -x$

いずれの場合も、$x \to 0$とすると、$x$も$-x$も$0$に近づきます。

したがって、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin(2/x) = 0$

より厳密には、

$-|x| \leq x\sin(2/x) \leq |x|$

$\lim_{x\to 0} -|x| = 0$

$\lim_{x\to 0} |x| = 0$

よって、はさみうちの原理より$\lim_{x \to 0} x \sin(2/x) = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} x \sin(2/x) = 0$