$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ の極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ の極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$

と変形できる。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$

となる。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、

$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1$

となる。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

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