2変数関数 $z = e^{ax-y}$ が与えられたとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 5z$ が成り立つような $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2変数関数 $z = e^{ax-y}$ が与えられたとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 5z$ が成り立つような $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $z = e^{ax-y}$ に対して、偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = ae^{ax-y}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = a^2e^{ax-y} = a^2z$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -e^{ax-y}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = e^{ax-y} = z$

次に、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 5z$ に求めた偏微分を代入します。

$a^2z + z = 5z$

$z(a^2 + 1) = 5z$

$z \neq 0$ であるので、$a^2 + 1 = 5$ が成り立ちます。

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

3. 最終的な答え

$a = \pm 2$