与えられた2つの微分方程式の一般解を求める問題です。 (1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 2y}{2x + y}$ (2) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 2y + 1}{2x + y + 1}$

1. 問題の内容

与えられた2つの微分方程式の一般解を求める問題です。

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 2y}{2x + y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 2y + 1}{2x + y + 1}$

2. 解き方の手順

(1) 同次形微分方程式なので、$y = vx$ とおいて、$v$と$x$に関する微分方程式に変換し、変数分離法で解きます。

(2) $3x - 2y + 1 = 0$ と $2x + y + 1 = 0$ の交点を $(x_0, y_0)$ とします。

$x = X + x_0$, $y = Y + y_0$ と変換することで、同次形微分方程式に変形できます。

あとは(1)と同様に解きます。

(1) の解き方

$y = vx$ とおくと、$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ となるので、微分方程式は

$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{3x - 2vx}{2x + vx} = \frac{3 - 2v}{2 + v}$

$x\frac{dv}{dx} = \frac{3 - 2v}{2 + v} - v = \frac{3 - 2v - 2v - v^2}{2 + v} = \frac{3 - 4v - v^2}{2 + v}$

$\frac{2 + v}{3 - 4v - v^2}dv = \frac{dx}{x}$

両辺を積分すると、

$\int \frac{2 + v}{3 - 4v - v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$

左辺の積分を計算します。$3 - 4v - v^2 = -(v^2 + 4v - 3) = -(v^2 + 4v + 4 - 7) = -((v+2)^2 - 7) = 7 - (v+2)^2$

とおくと、$\int \frac{2+v}{7 - (v+2)^2} dv = -\frac{1}{2} \log|7 - (v+2)^2|$

よって、

$-\frac{1}{2} \log|3 - 4v - v^2| = \log|x| + C_1$

$\log|3 - 4v - v^2| = -2\log|x| + C_2$

$\log|3 - 4\frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}| = \log|\frac{1}{x^2}| + C_2$

$|3 - 4\frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}| = e^{C_2}|\frac{1}{x^2}|$

$|3x^2 - 4xy - y^2| = C$

$3x^2 - 4xy - y^2 = C$

(2) の解き方

$3x - 2y + 1 = 0$ と $2x + y + 1 = 0$ の交点を求めます。

$3x - 2y = -1$

$2x + y = -1$

$4x + 2y = -2$

$7x = -3$

$x = -\frac{3}{7}$

$y = -1 - 2(-\frac{3}{7}) = -1 + \frac{6}{7} = -\frac{1}{7}$

よって、交点は $(-\frac{3}{7}, -\frac{1}{7})$

$x = X - \frac{3}{7}$, $y = Y - \frac{1}{7}$ とおくと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$

$\frac{dY}{dX} = \frac{3(X - \frac{3}{7}) - 2(Y - \frac{1}{7}) + 1}{2(X - \frac{3}{7}) + (Y - \frac{1}{7}) + 1} = \frac{3X - \frac{9}{7} - 2Y + \frac{2}{7} + 1}{2X - \frac{6}{7} + Y - \frac{1}{7} + 1} = \frac{3X - 2Y}{2X + Y}$

これは(1)と同じ形なので、$3X^2 - 4XY - Y^2 = C$

$X = x + \frac{3}{7}$, $Y = y + \frac{1}{7}$ を代入して、

$3(x + \frac{3}{7})^2 - 4(x + \frac{3}{7})(y + \frac{1}{7}) - (y + \frac{1}{7})^2 = C$

$3(x^2 + \frac{6}{7}x + \frac{9}{49}) - 4(xy + \frac{1}{7}x + \frac{3}{7}y + \frac{3}{49}) - (y^2 + \frac{2}{7}y + \frac{1}{49}) = C$

$3x^2 + \frac{18}{7}x + \frac{27}{49} - 4xy - \frac{4}{7}x - \frac{12}{7}y - \frac{12}{49} - y^2 - \frac{2}{7}y - \frac{1}{49} = C$

$3x^2 - 4xy - y^2 + \frac{14}{7}x - \frac{14}{7}y + \frac{14}{49} = C$

$3x^2 - 4xy - y^2 + 2x - 2y = C$

3. 最終的な答え

(1) $3x^2 - 4xy - y^2 = C$

(2) $3x^2 - 4xy - y^2 + 2x - 2y = C$