$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ を示してください。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ を示してください。

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、いくつかの方法があります。一般的には、幾何学的な議論やロピタルの定理を用いる方法があります。ここでは、幾何学的な議論を用いた解法を説明します。

1. $x > 0$ の場合を考えます。単位円を考え、中心角が $x$ (ラジアン) である扇形を考えます。扇形の面積を $S_1$ 、底辺が $\cos(x)$、高さが $\sin(x)$ である三角形の面積を $S_2$、底辺が 1、高さが $\tan(x)$ である三角形の面積を $S_3$ とします。このとき、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$S_2 < S_1 < S_3$ が成り立ちます。

2. それぞれの面積を計算します。

* $S_1 = \frac{1}{2}x$

* $S_2 = \frac{1}{2}\sin(x)\cos(x)$

* $S_3 = \frac{1}{2}\tan(x)$

3. $S_2 < S_1 < S_3$ に代入すると、$\frac{1}{2}\sin(x)\cos(x) < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan(x)$ となります。

4. 各辺に 2 を掛けて、$\sin(x)\cos(x) < x < \tan(x)$ を得ます。

5. $\sin(x) > 0$ なので、各辺を $\sin(x)$ で割ると、$\cos(x) < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{1}{\cos(x)}$ となります。

6. 逆数をとると、$\cos(x) < \frac{\sin(x)}{x} < \frac{1}{\cos(x)}$ となり、$x > 0$ の場合、$\cos(x) < \frac{\sin(x)}{x} < \frac{1}{\cos(x)}$が成り立ちます。

7. $x \to 0$ のとき、$\cos(x) \to 1$ および $\frac{1}{\cos(x)} \to 1$ なので、挟みうちの原理より、$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ となります。

8. 次に、$x < 0$ の場合を考えます。$x = -t$ とおくと、$t > 0$ となり、$x \to 0$ は $t \to 0$ と同値です。

$\frac{\sin(x)}{x} = \frac{\sin(-t)}{-t} = \frac{-\sin(t)}{-t} = \frac{\sin(t)}{t}$ となります。

9. よって、$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{t \to 0^{+}} \frac{\sin(t)}{t} = 1$ となります。

1

0. したがって、$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ かつ $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$