与えられた3つの二変数関数 $f(x, y)$ について、それぞれの偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求める問題です。関数は以下の通りです。 (1) $f(x, y) = x^2y^4 + x + y^5$ (2) $f(x, y) = \sqrt{2x^2 - y^2}$ (3) $f(x, y) = \arctan\frac{y}{x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの二変数関数 $f(x, y)$ について、それぞれの偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求める問題です。関数は以下の通りです。

(1) $f(x, y) = x^2y^4 + x + y^5$

(2) $f(x, y) = \sqrt{2x^2 - y^2}$

(3) $f(x, y) = \arctan\frac{y}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = x^2y^4 + x + y^5$ の場合

* $\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y^4 + x + y^5) = 2xy^4 + 1 + 0 = 2xy^4 + 1$

* $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y^4 + x + y^5) = 4x^2y^3 + 0 + 5y^4 = 4x^2y^3 + 5y^4$

(2) $f(x, y) = \sqrt{2x^2 - y^2}$ の場合

* $\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{2x^2 - y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - y^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 - y^2) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - y^2}} \cdot 4x = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 - y^2}}$

* $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sqrt{2x^2 - y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - y^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 - y^2) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - y^2}} \cdot (-2y) = \frac{-y}{\sqrt{2x^2 - y^2}}$

(3) $f(x, y) = \arctan\frac{y}{x}$ の場合

* $\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\arctan\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$

* $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\arctan\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2 + y^2}$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^4 + 1$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4x^2y^3 + 5y^4$

(2)

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 - y^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{2x^2 - y^2}}$

(3)

$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2}$