与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = e^x y^2$ を解く問題です。これはベルヌーイ型微分方程式です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = e^x y^2$ を解く問題です。これはベルヌーイ型微分方程式です。

2. 解き方の手順

この微分方程式はベルヌーイ型なので、以下の手順で解きます。

ステップ1: ベルヌーイ方程式の一般形に変形

ベルヌーイ方程式は $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ の形で表されます。与えられた方程式はすでにこの形になっており、$P(x) = 1$、$Q(x) = e^x$、$n = 2$ です。

ステップ2: 変数変換

$z = y^{1-n}$ という変数変換を行います。$n=2$ なので、$z = y^{1-2} = y^{-1}$ です。したがって、$y = z^{-1}$ です。

ステップ3: $z$ に関する微分方程式を導出

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(z^{-1}) = -z^{-2}\frac{dz}{dx}$ となります。

これを元の微分方程式に代入すると、

$-z^{-2}\frac{dz}{dx} + z^{-1} = e^x (z^{-1})^2$

$-z^{-2}\frac{dz}{dx} + z^{-1} = e^x z^{-2}$

両辺に $-z^2$ をかけると、

$\frac{dz}{dx} - z = -e^x$

ステップ4: 線形微分方程式を解く

これは線形微分方程式 $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ の形になっています。$P(x) = -1$、$Q(x) = -e^x$ です。

積分因子は $I(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ です。

両辺に積分因子をかけると、

$e^{-x}\frac{dz}{dx} - e^{-x}z = -e^{0} = -1$

$\frac{d}{dx}(e^{-x}z) = -1$

両辺を積分すると、

$\int \frac{d}{dx}(e^{-x}z) dx = \int -1 dx$

$e^{-x}z = -x + C$ （$C$ は積分定数）

$z = e^x(-x + C)$

ステップ5: $y$ を求める

$z = y^{-1}$ なので、$y = \frac{1}{z}$ です。したがって、

$y = \frac{1}{e^x(-x + C)} = \frac{e^{-x}}{-x + C}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{e^{-x}}{C-x}$