関数 $f(x) = x^2(x-1)$ が与えられています。 (1) $f(x)$ を微分する。 (2) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求める。 (3) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $2$ 平行移動したグラフ $y=g(x)$ を求める。 (4) $y=f(x)$ と $y=g(x)$ で囲まれた図形の面積を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2(x-1)$ が与えられています。

(1) $f(x)$ を微分する。

(2) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求める。

(3) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $2$ 平行移動したグラフ $y=g(x)$ を求める。

(4) $y=f(x)$ と $y=g(x)$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の微分

$f(x) = x^2(x-1) = x^3 - x^2$

$f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)$

(2) $f(x)$ の増減と極値

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x(3x - 2) = 0$ より $x = 0, \frac{2}{3}$

増減表を作成する。

| x | ... | 0 | ... | 2/3 | ... |

| :----- | :---- | :-- | :---- | :--- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 0 | 減少 | -4/27| 増加 |

$x = 0$ のとき極大値 $f(0) = 0$

$x = \frac{2}{3}$ のとき極小値 $f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^2 (\frac{2}{3} - 1) = \frac{4}{9} (-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{27}$

(3) $g(x)$ を求める。

$y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $2$ 平行移動したグラフは $y-2 = f(x-1)$ と表せるので、

$g(x) = f(x-1) + 2 = (x-1)^2 (x-1-1) + 2 = (x-1)^2 (x-2) + 2 = (x^2 - 2x + 1)(x-2) + 2 = x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + x - 2 + 2 = x^3 - 4x^2 + 5x$

$g(x) = x^3 - 4x^2 + 5x$

(4) $y=f(x)$ と $y=g(x)$ で囲まれた図形の面積を求める。

$f(x) = x^3 - x^2$

$g(x) = x^3 - 4x^2 + 5x$

$f(x) = g(x)$ となる $x$ を求める。

$x^3 - x^2 = x^3 - 4x^2 + 5x$

$3x^2 - 5x = 0$

$x(3x - 5) = 0$

$x = 0, \frac{5}{3}$

$0 \le x \le \frac{5}{3}$ において、$g(x) \ge f(x)$ であるため、面積 $S$ は

$S = \int_0^{\frac{5}{3}} (g(x) - f(x)) dx = \int_0^{\frac{5}{3}} (x^3 - 4x^2 + 5x - (x^3 - x^2)) dx = \int_0^{\frac{5}{3}} (-3x^2 + 5x) dx = [-x^3 + \frac{5}{2} x^2]_0^{\frac{5}{3}} = -(\frac{5}{3})^3 + \frac{5}{2} (\frac{5}{3})^2 = - \frac{125}{27} + \frac{5}{2} \cdot \frac{25}{9} = - \frac{125}{27} + \frac{125}{18} = 125 (\frac{1}{18} - \frac{1}{27}) = 125 (\frac{3 - 2}{54}) = \frac{125}{54}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 3x^2 - 2x$

(2) 極大値 $f(0) = 0$, 極小値 $f(\frac{2}{3}) = -\frac{4}{27}$

(3) $g(x) = x^3 - 4x^2 + 5x$

(4) 面積 $S = \frac{125}{54}$